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Définition

Expression de l'opérateur identité

$${{\sum_i\ket{V_i}\langle V_i|}}=\hat I$$
\(\hat I\) est l'opérateur identité.

On sait que \(\Psi_i=\langle V_i|\Psi\rangle\) et \(\ket{\Psi}=\sum_i\Psi_i\ket{V_i}\)
$$\ket{\Psi}=\sum_i(\langle V_i|\Psi\rangle)|V_i\rangle$$
$$=\sum_i\ket{V_i}\langle V_i|\Psi\rangle=\left(\sum_i\ket{V_i}\langle V_i|\right)\ket{\Psi}$$
Ainsi:
$$\sum_i\ket{V_i}\langle V_i|=\hat I$$
\(\hat I\) est l'opérateur identité.